2021학년도 수능 6월 모의고사 - 가형 28번

안녕하세요 공돌이 김넙죽입니다!
오늘 풀어볼 문제는 2021학년도 수능 6월 모의고사 가형 28번입니다.

6월 모의고사 가형 28번

역시 전형적인 도형의 극한 문제입니다. 과연 이 문제를 쉽게 접근하려면 어떻게 해야 할까요? 그것은 바로 삼각형 EMC를 이용하는 것이죠! 그렇다면 EMC의 넓이를 구해야 하냐고요? 그럴 필요는 없습니다. f와 g를 보면 이 넓이에 EMC를 더하면 각각 삼각형 DMC와 HCM의 넓이가 됩니다. 이는 즉
f-g=삼각형 DMC -삼각형 HCM
이라는 얘기인거죠~
이렇게 바꿨을때의 의의는 바로 DMC와 HCM의 넓이가 훨씬 구하기 쉽다는 것입니다!
먼저 DMC부터 살펴볼까요? DM=HM=sinθ이고 각 DMB=90 - θ/2 이므로 MC에 대한 높이는 sinθ×cos(θ/2)가 됩니다. HMC의 경우 MC에 대한 높이는 sinθ×cosθ= sin2θ/2임을 간단히 알 수 있죠?
따라서 f -g =1/2 × (sinθ cos(θ/2) - sin2θ/2)가 됩니다.
우리는 이 값과 θ³의 비가 궁금하니 sinθ=θ - θ³/6, cos(θ/2)=1 - θ²/8, sin2θ/2=θ - 2θ³/3으로 근사 가능하죠. (이는 테일러 전개를 이용한 근사입니다.) 이를 집어넣고 극한값을 구하면 3/16이니 답은 15네요!
오늘은 구하고자 하는 식을 변형시켜 조금 더 구하기 쉬운 형태로 바꾸고, 그 후 테일러 전개를 통한 삼각함수 근사를 보여드렸습니다. 질문이 있거나 풀이를 보고싶은 문제가 있다면 댓글 달아주세요! 공돌이 김넙죽이었습니다 :)